CONJUNTOS

CONJUNTOS

Relación de contenencia y subconjuntos

Definamos como $F$ y $G$ los conjuntos que se muestran en el siguiente diagrama de venn:

Como te puedes dar cuenta, cada elemento que pertenece al conjunto $G$, pertenece también al conjunto $F$.  Cuando se da esta situación decimos que un  conjunto está contenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.

En este caso $G$ está contenido en $F$, o lo que es igual, $G$ es subconjunto de $F$.

La manera correcta de representar la relación de contenencia es dibujar un conjunto dentro del otro.  Para el caso de los conjuntos $F$ y $G$ definidos anteriormente, la representación correcta es como se muestra en la figura de abajo.

También es posible representar de forma escrita la relación de contenencia entre conjuntos.

Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la contenencia.  Si queremos representar la no contenencia de conjuntos usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de la derecha.

Definamos los conjuntos $H=\{a,c,e\}$, $I=\{a,e\}$ y $J=\{c,e,h\}$.  ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos?

 Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece también al otro conjunto.  En este caso cada elemento del conjunto $I$ pertenece también al conjunto $H$, decimos entonces que $I$ está contenido en $H$, o que $I$ es subconjunto de $H$.

¿Crees que el conjunto $J$ está contenido en el conjunto $H$?  Si observas con atención, notarás que hay un elemento de $J$ que no está en $H$.  Es decir, no se cumple la condición que cada elemento de $J$ esté también en $H$.  Se puede asegurar entonces que $J$ no está contenido en $H$, o lo que es igual, que $J$ no es subconjunto de $H$.

Es importante aprender a representar gráficamente la relación de contenencia entre conjuntos.  Para el caso de nuestros conjuntos $I$, $J$ y $H$, se pueden representar de la siguiente manera:

Relación de igualdad

Veremos ahora en que condiciones podemos decir que dos conjuntos son iguales, esto lo haremos a través de la relación de igualdad entre conjuntos.

Observa los conjuntos $K$ y $L$ definidos así: $K=\{p,q,r,q,s,r,p\}$ y $L=\{s,r,p,q\}$.

¿Consideras que los conjuntos $K$ y $L$ son iguales?  Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.

Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.  Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

Por ejemplo, para verificar si los conjuntos $K$ y $L$ de la imagen son iguales debemos verificar si  $K\subseteq L$ y además $L\subseteq K$.

¿Es cierto que cada elemento de $K$ está en $L$, y que cada elemento de $L$ está en $K$?  Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que $K$es igual a $L$ y lo notamos así: $K=L$.

Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos.  Resultaría igual escribir por ejemplo $\{p,q,r,q,s,r,p\}$ que  $\{r,s,p,q\}$ o que $\{p,r,q,s\}$, es decir: $\{p,q,r,q,s,r,p\}=\{r,s,p,q\}=\{p,r,q,s\}$.

Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo $\ne$.  De esta manera la expresión $A\ne B$ debe ser leída como “$A$ es diferente a $B$”, o “$A$ y $B$ no son iguales”.

Operaciones entre conjuntos

Además de relacionar los conjuntos a través de lacontenencia y la igualdad, podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos.  Aquí aprenderás de que se trata.

Unión de conjuntos

Supongamos que tenemos los conjuntos  y $N$ definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a $M$ o a $N$.  A este nuevo conjunto le llamamos unión de $M$ y $N$, y lo notamos de la siguiente manera: $M\cup N$.  En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos $M$ y $N$.

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos $M$ y $N$, debes preguntarte cuáles están en el conjunto $M$ “o” en el conjunto $N$.  El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos delconjunto universal $U$, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.   

Tenemos en este caso: $M\cup N=\{a,c,b,g,e,1\}.$

Intersección de conjuntos

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos $M$ y $N$ definidos anteriormente.  Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos $M$ y $N$ tienen en común.  A este nuevo conjunto le llamamos intersección de $M$ y $N$ y lo notamos de la siguiente manera: $M\cap N$.

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos $M$ y $N$te puedes preguntar qué elementos están en $M$ “y” en  $N$.  Todos los elementos del conjunto $U$ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto $M\cap N$.  En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos $M$ y $N$, tenemos que $M\cap N=\left\{b\right\}$.

Diferencia de conjuntos

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro.  Por ejemplo, si realizas la operación $M$ menos $N$, debes seleccionar los elementos de $M$ que no están en $N$.  Representamos la diferencia M menos N así: $M\backslash N$.  Observa que en este caso $M\backslash N=\{a,c\}$.

Diferencia simétrica de conjuntos

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla. 

En esta ocasión se deben escoger los elementos de $M$ que no están en $N$, y los elementos de $N$ que no están en $M$.  Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre $M$ y $N$ en la figura de la izquierda.  Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo $\Delta$.  En el caso de nuestros conjuntos $M$ y $N$tenemos: $M\Delta N=\{a,c,g,1,e\}$.

Complemento de un conjunto

La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos.  Decimos que el complemento de $M$ es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal $U$, que no pertenecen al conjunto $M$.  Es común usar los símbolos $M^c$, $\overline{M}$ o $M\text{'}$ para representar el complemento del conjunto $M$, nosotros usaremos el símbolo $M^c$.  En nuestro caso tenemos $M^c=\{j,f,g,1,e,i,h\}$ y $N^c=\{i,h,j,f,a,c\}$.

Problemas que se pueden resolver con conjuntos

Es posible usar los conceptos aprendidos para interpretar y resolver cierto tipo de problemas, aprende cómo hacerlo.

Observa la siguiente situación: en un salón de clases de $50$ niños y niñas, a $10$ les gusta solo el helado de fresa y a $5$ solo el helado de chocolate.  Si a $20$ niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?

¡Mira la solución, es más sencilla de lo que crees!  Primero representaremos la situación con diagramas de Venn: llamaremos $F$ al conjunto de los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y $C$ al de conjunto de niños que gustan del helado de chocolate.

Estos dos conjuntos deben estar contenidos en un conjunto universal, que es precisamente el salón de clase completo.  Por lo tanto podemos representar toda la situación a través del siguiente diagrama.

Las diferentes regiones del diagrama representan diferentes grupos de estudiantes.

Por ejemplo, en la intersección de los conjuntos $F$ y $C$ se representa la población de estudiantes que gustan de los dos helados, mientras que la región exterior a los conjuntos, representa la parte del curso que no gusta de ninguno.  Podemos por lo tanto ubicar las cantidades de estudiantes en las zonas correspondientes:

Observa que el $10$ y el $5$ quedaron ubicados en zonas que comprenden los estudiantes que gustan de solo de uno de los dos helados, por su parte el $20$ está ubicado por fuera de los dos conjuntos, representando los estudiantes que no gustan de estos sabores de helado, tal y como lo dice el enunciado del problema.  Ahora bien, tenemos $10$estudiantes que solo gustan del helado de fresa, $5$ solo el de chocolate y $20$ ninguno de los dos, lo que nos da un total de $10+5+20=35.$

Como el curso completo se compone de $50$ estudiantes tenemos un faltante de $50-35=15.$  ¿A qué grupo pertenecen estos $15$ estudiantes?

Solo hay una opción: a la región que gusta de los dos helados, es decir la intersección de los conjuntos $F$ y $C.$

Podemos entonces responder todas las preguntas hechas inicialmente: a $15$ niños les gustan los dos helados, en total a $25$ les gusta el helado de fresa y a $20$ les gusta el helado de chocolate.

Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate?

Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno u otro, por lo tanto la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión $F\cup C.$  Esto quiere decir que a  $30$ estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate.