Logica Matemàtica
CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA
La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.
DEFINICIÓN Y CLASES DE PROPOSICIONES
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplos.
p: México se encuentra en Europa.
q: 15−6 = 9 r: 2x −3 > 7 s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año.
t: Hola ¿cómo estás?
w: ¡Cómete esa fruta!
Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a la variable x en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara el año. Sin embargo, los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden. En general, las proposiciones pueden ser:
• Simples si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento. En caso contrario, son proposiciones Compuestas.
• Cerradas si tienen determinado el sujeto. Abiertas si no lo tienen determinado.
• Afirmativas o Negativas. Según lo afirmen o nieguen.
• Verdaderas o Falsas según correspondan o no a la realidad.
Ejemplos.
h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa. j: "Ella no nada muy rápido", es una proposición simple, abierta y negativa.
k: “Cuerna-vaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa y verdadera.
l: 7 + 3 =10 es una proposición simple, cerrada, afirmativa y verdadera.
m: 2 2 x ≠ x − es una proposición simple, abierta y negativa.
n: a + b = 6 es una proposición compuesta, abierta y afirmativa.
CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS
Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir, formadas por varias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:
• Conjunción (operador and)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and).
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero " Sean:
p: Voy al cine.
q: Hay una buena película.
r: Tengo dinero. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
p = q∧r
• Disyunción (operador or)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se conoce como suma lógica y su símbolo es ∨ (or).
p: Ir a Toluca.
q: Tomar la carretera federal.
r: Tomar la autopista de cuota.
PROPOSICIONES CONDICIONALES
Una implicación o proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. Se indica de la siguiente manera:
p→q (se lee "si p entonces q")
Ejemplo.
Un profesionista dice "Si ahorro me podré comprar una casa en tres años ". Una declaración como esta se conoce como condicional. Sean:
p: Ahorro.
q: Podrá comprar una casa en tres años . De tal manera que el enunciado se puede expresar como:
p→q Su tabla de verdad es de la siguiente manera:
TAUTOLOGÍA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIÓN
Tautología es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la proposición contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
Nótese que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre uno.
Las tautologías son muy importantes en Lógica Matemática ya que se consideran leyes en las cuales se puede apoyar para realizar demostraciones.
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p≡q.
En el ejemplo anterior, se puede observar que las columnas de (p→q) y (q’→p’) son iguales para los mismos valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p→q) ≡ (q’→p’) Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p∧p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
LEYES NOTABLES EN LÓGICA
Las leyes de lógica más notables son las que se enlistan a continuación:
1.- Ley de doble negación
p''↔p
2.- Leyes de idempotencia
(p∨p) ↔ p
(p∧p) ↔ p
3.- Leyes asociativas
[(p∨q)∨r] ↔ [p∨(q∨r)]
[(p∧q)∧r] ↔ [p∧(q∧r)]
4.- Leyes conmutativas
(p∨q) ↔ (q∨p)
(p∧q) ↔ (q∧p)
(p↔q) ↔ (q↔p)
5.- Leyes distributivas
[p∨(q∧r)] ↔ [(p∨q)∧(p∨r)]
[p∧(q∨r)] ↔ [(p∧q)∨(p∧r)]
6.- Leyes de De Morgan
(p∨q)' ↔ (p'∧q')
(p∧q)' ↔ (p'∨q')
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